Вирусная экзантема или розеола

Здравствуйте!! Помогите разобраться что с ребёнком. Ребёнку 1 год. Две недели назад у неё появились сопли, через 2 дня кашель, все время был влажный, который потом очень усилился и не давал ей даже спать. Через пару дней, кашель стал чуть реже, но появилась температура 38,8. Длилась три ночи, по ночам не сбивала, температура к утру сама спускалась до 37,3-37,7. Но днём давала ибупрофен, потому что ребёнок все время плакал, особо это ребёнка не успокаивало. Через 3 дня температура нормализовалась, но на туловище появилась сыпь. Кашель усилился, один раз даже немного вырвало. Врач послушала, сказала что с легкими все нормально, лор смотрел горло оно чуть красное, и уши, они здоровы. Педиатр назначила антибиотики потому что кашель усилился. Про сыпь сказала вирусная экзантема. Подскажите правильное ли назначение, учитывая что кашель кажется усилился. На сегодняшний день кашель и сопли уже 14 дней.